Soit un entier \(n\geq 1\).
\(X\) suit la loi uniforme sur \([\![1,n]\!]\) et on note \(X \hookrightarrow \mathcal U([\![1,n]\!])\) si
\[X(\Omega) = [\![1,n]\!] \] et \[ \forall k \in [\![1,n]\!], \quad P(X=k) = \frac1n \]
Son espérance et sa variance sont \[ E(X) = \frac{n+1}{2} \quad V(X) = \frac{n^2-1}{12} \]
Soit \(a\) et \(b\) des entiers avec \(a\leq b\).
On note \(n = \mathrm{card}([\![a,b]\!])\), c’est-à-dire \(n=b-a+1\).
\(X\) suit la loi uniforme sur \([\![a,b]\!]\) et on note \(X \hookrightarrow \mathcal U([\![a,b]\!])\) si
\[X(\Omega) = [\![a,b]\!] \] et \[ \forall k \in [\![a,b]\!], \quad P(X=k) = \frac1n = \frac{1}{b-a+1}\]
Son espérance et sa variance sont \[ E(X) = \frac{a+b}{2} \quad V(X) = \frac{n^2-1}{12} = \frac{(b-a+1)^2-1}{12}\]
Soit \(p \in ]0,1[\). Posons \(q=1-p\).
\(X\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(p\), et on note \(X \hookrightarrow \mathcal B(p)\) si
\[X(\Omega) = \{0,1\} \] et \[ P(X=1) = p \quad P(X=0) = q \]
Son espérance et sa variance sont \[ E(X) = p \quad V(X) = pq \]
Soient un entier naturel non nul \(n\) et le réel \(p \in ]0,1[\). Posons \(q=1-p\).
\(X\) suit la loi binomiale de paramètre \(n\) et \(p\) et on note \(X \hookrightarrow \mathcal B(n,p)\) si
\[X(\Omega) = [\![0,n]\!] \] et \[ \forall k \in [\![0,n]\!], \quad P(X=k) = \binom{n}{k}p^kq^{n-k} \]
Son espérance et sa variance sont \[ E(X) = np \quad V(X) = npq \]
Soit un réel \(a\).
\(X\) suit la loi certaine égale à \(a\) si
\[X(\Omega) = \{a\} \]
On a donc \[ P(X=a) = 1 \]
Son espérance et sa variance sont \[ E(X) = a \quad V(X) = 0 \]
Soit \(p \in ]0,1[\). Posons \(q=1-p\).
\(X\) suit la loi géométrique de paramètre \(p\) et on note \(X \hookrightarrow \mathcal G(p)\) si
\[X(\Omega) = \mathbb N^* \] et \[ \forall k \in \mathbb N^*, \quad P(X=k) = q^{k-1}p \]
Son espérance et sa variance sont \[ E(X) = \frac1p \quad V(X) = \frac{q}{p^2} \]
Soit un réel \(\lambda >0\).
\(X\) suit la loi de Poisson de paramètre \(\lambda\) et on note \(X \hookrightarrow \mathcal P(\lambda)\) si
\[X(\Omega) = \mathbb N \] et \[ \forall k \in \mathbb N, \quad P(X=k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} \]
Son espérance et sa variance sont \[ E(X) = \lambda = V(X) \]