Les formules
Soit un réel \(a\) non nul.
\[a^3 = a \times a \times a\]
Et en divisant par \(a\), on obtient
\[a^2 = a \times a\]
Et en divisant par \(a\), on obtient
\[a^1 = a\]
Et en divisant par \(a\), on obtient
\[a^0 = 1\]
Et en divisant par \(a\), on obtient
\[a^{-1} = \frac1a\]
Et en divisant par \(a\), on obtient
\[a^{-2} = \frac1a \times \frac1a = \frac{1}{a^2}\]
Plus généralement, pour tout entier \(n\), on a
\[a^{-n} = \frac{1}{a^n}\]
Et même pour tout réel \(\alpha\) (mais avec \(a>0\))
\[a^{-\alpha} = \frac{1}{a^{\alpha}}\]
\[\begin{array}{ll} a^2 \times a^3 &= (a \times a) \times (a \times a \times a)\\ &= a \times a \times a \times a \times a\\ &= a^5 \end{array}\]
Plus généralement, pour tous réels \(\alpha\) et \(\beta\) (mais avec \(a>0\) et \(b>0\))
\[a^{\alpha} \times a^{\beta} = a^{\alpha + \beta}\]
Et
\[\begin{array}{ll} (a^2)^3 &= (a \times a) \times (a \times a) \times (a \times a)\\ &= a \times a \times a \times a \times a \times a\\ &= a^6 \end{array}\]
De manière générale, pour tous réels \(\alpha\) et \(\beta\) (mais avec \(a>0\) et \(b>0\))
\[(a^{\alpha})^{\beta} = a^{\alpha \times \beta}\]
\[\frac{a^5}{a^3} = \frac{a \times a \times a \times a \times a}{a \times a \times a} = a \times a\]
Plus généralement, pour tous réels \(\alpha\) et \(\beta\) (mais avec \(a>0\) et \(b>0\))
\[\frac{a^{\alpha}}{a^{\beta}} = a^{\alpha - \beta}\]
\[(a \times b)^2 = (a \times b) \times (a \times b) = a \times b \times a \times b = a^2 \times b^2\]
Plus généralement, pour tous réels \(\alpha\) et \(\beta\) (mais avec \(a>0\) et \(b>0\))
\[(a \times b)^{\alpha} = a^{\alpha}\times b^{\alpha}\]
\[\left(\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a}{b}\times\frac{a}{b} = \frac{a\times a}{b\times b} = \frac{a^2}{b^2}\]
Plus généralement, pour tous réels \(\alpha\) et \(\beta\) (mais avec \(a>0\) et \(b>0\))
\[\left(\frac{a}{b}\right)^{\alpha} = \frac{a^{\alpha}}{b^{\alpha}}\]
L’exponentielle est une fonction puissance de \(e\). Donc les propriétés sur les puissances se retrouvent avec \(e\).
Pour tous réel \(x\) et \(y\), on a
\[e^{x} \times e^y = e^{x+y}\]
\[e^{-x} = \frac1{e^x}\]
\[\frac{e^x}{e^y} = e^{x-y}\]
\[(e^x)^y = e^{x \times y}\]
Soient \(a\) et \(b\) strictement positifs.
\[\ln(a \times b) = \ln a + \ln b\]
\[\ln(a^2) = \ln(a \times a) = \ln a + \ln a = 2\ln a\]
\[\ln(a^3) = \ln(a \times a \times a) = \ln a + \ln a + \ln a = 3\ln a\]
Plus généralement, on a pour tout entier \(n\)
\[\ln(a^n) = n\ln(a)\]
Et même pour tout réel \(\alpha\)
\[\ln(a^{\alpha}) = \alpha\ln(a)\]
\[\ln \left( \frac{a}{b} \right) = \ln a - \ln b\]
\[\ln \left( \frac{1}{b} \right) = \ln 1 - \ln b = -\ln b\]
car \[\ln 1 = 0\]
\[e \approx 2,7\]
\[\ln e = 1\]
Ainsi, pour tout réel \(x\)
\[\ln(e^x) = x\ln e = x \times 1 = x\]
Pour tout réel \(x>0\)
\[e^{\ln x} = x\]
et
\[e^{-\ln x} = \frac{1}{e^{\ln x}} = \frac1x\]
Pour tout réel \(a>0\) et tout réel \(x\)
\[a^x = e^{\ln(a^x)} = e^{x\ln a}\]
Attention aucune formule pour
\[\sqrt{a+b}\]
Attention aucune formule pour
\[\ln(a+b)\]
Attention aucune formule pour
\[\ln(a) \times \ln(b)\]
Attention aucune formule pour
\[\frac{\ln a}{\ln b}\]