Ecritures de la somme

Soit \(n\) un entier naturel non nul.

Notons \(S_n\) la somme des entiers de 1 à \(n\). C’est-à-dire

\[ S_n = 1 + 2 + \dots + n \]

somme que l’on peut écrire de manière abrégée

\[ S_n = \sum_{k=1}^n k \]

Calcul de la somme (1/6)

\[ \begin{array}{lclccccccccc} & Sn & = & 1 & + & 2 & + & \dots & + & n-1 & + & n \\ \phantom{+} & & & & & & & & & & & \\ & \phantom{2Sn} & & \phantom{(n+1)} & & \phantom{(n+1)} & & & & \phantom{(n+1)} & & \phantom{(n+1)} \\ \end{array} \]

Calcul de la somme (2/6)

\[ \begin{array}{lclccccccccc} & Sn & = & 1 & + & 2 & + & \dots & + & n-1 & + & n \\ \phantom{+} & & & & & & & & & & & \\ & Sn & = & n & + & n-1 & + & \dots & + & 2 & + & 1 \\ & \phantom{2Sn} & & \phantom{(n+1)} & & \phantom{(n+1)} & & & & \phantom{(n+1)} & & \phantom{(n+1)} \\ \end{array} \]

Calcul de la somme (3/6)

\[ \begin{array}{lclccccccccc} & Sn & = & 1 & + & 2 & + & \dots & + & n-1 & + & n \\ + & & & & & & & & & & & \\ & Sn & = & n & + & n-1 & + & \dots & + & 2 & + & 1 \\ \hline & \phantom{2Sn} & & \phantom{(n+1)} & & \phantom{(n+1)} & & & & \phantom{(n+1)} & & \phantom{(n+1)} \\ \end{array} \]

Calcul de la somme (4/6)

\[ \begin{array}{lclccccccccc} & Sn & = & 1 & + & 2 & + & \dots & + & n-1 & + & n \\ + & & & & & & & & & & & \\ & Sn & = & n & + & n-1 & + & \dots & + & 2 & + & 1 \\ \hline & & & & & & & & & & & \\ & 2Sn & = & (n+1) & + & (n+1) & + & \dots & + & (n+1) & + & (n+1) \\ \end{array} \]

Calcul de la somme (5/6)

\[ \begin{array}{lclccccccccc} & Sn & = & 1 & + & 2 & + & \dots & + & n-1 & + & n \\ + & & & & & & & & & & & \\ & Sn & = & n & + & n-1 & + & \dots & + & 2 & + & 1 \\ \hline & & & & & & & & & & & \\ & 2Sn & = & (n+1) & + & (n+1) & + & \dots & + & (n+1) & + & (n+1) \\ \end{array} \]

On a donc \[2S_n = n(n+1)\]

Calcul de la somme (6/6)

\[ \begin{array}{lclccccccccc} & Sn & = & 1 & + & 2 & + & \dots & + & n-1 & + & n \\ + & & & & & & & & & & & \\ & Sn & = & n & + & n-1 & + & \dots & + & 2 & + & 1 \\ \hline & & & & & & & & & & & \\ & 2Sn & = & (n+1) & + & (n+1) & + & \dots & + & (n+1) & + & (n+1) \\ \end{array} \]

On a donc \[2S_n = n(n+1)\]

Et on en déduit alors

\[ S_n = \frac{n(n+1)}{2} \]

Formule à retenir

\[\huge{ \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} } \]