Notation

Soit un univers \(\Omega\), muni d’une tribu \(\mathcal A\) (l’ensemble des événements).

Soit \(X\) une application de \(\Omega\) dans \(\mathbb R\). Pour tout réel \(x\), on note \[ [X\leq x] = \{ \omega \in \Omega\ |\ X(\omega) \leq x \} \]

On utilisera le même type de notation pour

• \([X<a]\)
• \([X\geq a]\)
• \([X>a]\)
• \([a<X<b]\)
• \([a\leq X \leq b]\)
• \([a < X \leq b]\)
• \([a \leq X < b]\)

Définitions

On dit que \(X\) est une variable aléatoire si pour tout \(x\) de \(\mathbb R\),

Et si en plus de sa tribu \(\mathcal A\), on munit l’univers \(\Omega\) d’une probabilité \(P\), pour en faire un espace probabilisé que l’on note habituellement \((\Omega, \mathcal A, P)\), on peut donc calculer \(P([X\leq x])\) que l’on notera aussi \(P(X\leq x)\). Ce qui nous amène à la définition suivante

On appelle fonction de répartition de la variable aléatoire \(X\), que l’on peut noter \(F_X\), la fonction définie sur \(\mathbb R\) par

\[ F_X(x) = P(X \leq x), \qquad \forall x \in \mathbb R \]

Evénements liés à une variable aléatoire  \(X\)

Soient \(a\) et \(b\) des réels tels que \(a < b\). On sait déjà que \([X\leq a]\) et \([X\leq b]\) sont des événements. Alors on montre facilement que \([X>a]\) puis \([a<X\leq b]\) sont aussi des événements.

On peut aussi montrer que \([X=a]\) est un événement (donc aussi \([X=b]\)).

Par conséquent,

• \([X\geq a]\) (et \([X\geq b]\)), \([a\leq X \leq b]\)
• \([X<b]\) et \([a \leq X \leq b]\)
• \([a<X<b]\) et \([a \leq X < b]\)

sont des événements.

Propriétés de la fonction de répartition

Si \(F_X\) est la fonction de répartition d’une variable aléatoire \(X\), alors

• \(F_X\) est croissante sur \(\mathbb R\)
• \(F_X\) est continue à droite en tout point de \(\mathbb R\)
• \(\lim \limits_{x \to -\infty}F_X(x) = 0\) et \(\lim \limits_{x \to +\infty}F_X(x) = 1\)

Exemple de fonction de répartition (1/2)

Exemple de fonction de répartition (2/2)

Théorème

\(F_X\) est continue en \(a\) si et seulement si \(P(X=a) = 0\).

Et si \(a\) est un point de discontinuité de \(F_X\), alors le saut est \(P(X=a)\).