Soit \(n\) un entier naturel non nul.
Soit \(A\) une matrice de \(\mathcal M_n(\mathbb R)\).
On note \(I_n\) la matrice identité de \(\mathcal M_n(\mathbb R)\).
Alors \(\ker(A - \lambda I_n)\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)\).
Soient \(\lambda\) un réel et \(X\) un vecteur de \(\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)\).
On dit que \(\lambda\) est une valeur propre de \(A\) et que \(X\) est un vecteur propre de \(A\) associé à la valeur propre \(\lambda\) si \[ X \neq 0_{n,1} \qquad \mathrm{et} \qquad AX = \lambda X\]
Et dans ce cas, on appelle espace propre de \(A\) associé à la valeur propre \(\lambda\), que l’on note ici \(E_{\lambda}\) \[ E_{\lambda} = \{X \in \mathcal M_{n,1}(\mathbb R)\ / \ AX = \lambda X\} \]
Que \(\lambda\) soit valeur propre ou pas, on a
\[E_{\lambda} = \{X \in \mathcal M_{n,1}(\mathbb R)\ / \ AX = \lambda X\} = \ker(A - \lambda I_n)\]
Mais ce qui est important, c’est que
\[\lambda \mathrm{\ valeur\ propre\ de\ } A \Longleftrightarrow E_{\lambda} = \ker(A - \lambda I_n) \mathrm{\ est\ un\ espace\ propre\ de\ } A\] \[ \Longleftrightarrow E_{\lambda} = \ker(A - \lambda I_n) \neq \{0_{n,1}\}\] \[ \Longleftrightarrow \dim E_{\lambda} = \dim\ker(A - \lambda I_n)\geq 1\] \[ \Longleftrightarrow A - \lambda I_n \mathrm{\ non\ inversible} \]
Si on concatène des familles libres de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes, alors la famille obtenue est aussi libre.
Conséquences :
le nombre maximum de valeurs propres est \(n=\dim E\)
la somme des dimmensions des espaces propres est majorée par \(n=\dim E\)
\[ \sum_{\lambda \in \mathrm{Sp}(f)} \dim E_{\lambda} \leq n=\dim \mathcal M_{n,1}(\mathbb R)\]
On appelle spectre de \(A\) et on note \(\mathrm{Sp}(A)\), l’ensemble des valeurs propres de \(A\).
Si \(P\) est un polynome annulateur de \(A\), alors le spectre de \(A\) est inclus dans l’ensemble des racines de \(P\).
Si la matrice carrée \(A\) est triangulaire, alors ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux.
On dit que \(A\) est diagonalisable s’il existe une base de \(\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)\) constituée de vecteurs propres de \(A\).
Ou de manière équivalente :
On dit que \(A\) est diagonalisable si \(A\) est semblable à une matrice diagonale, c’est-à-dire s’il existe une matrice \(P\) inversible et une matrice diagonale \(D\) telles que \[ A = PDP^{-1} \]
Les coefficients de \(D\) sont alors les valeurs propres de \(A\).
La matrice \(A\) est diagonalisable si et seulement si
\[ \sum_{\lambda \in \mathrm{Sp}(A)} \dim E_{\lambda} = \dim \mathcal M_{n,1}(\mathbb R) = n \]
Si la matrice \(A\) est carrée d’odre \(n\) et si \(A\) possède \(n\) valeurs propres distinctes, alors \(A\) est diagonalisable.
Et dans ce cas, tous les espaces propres de \(A\) sont de dimension 1.
Si la matrice \(A\) est symétrique, alors elle est diagonalisable.
Etant donné que \(E_0 = \ker A\), on a
\[ 0 \mathrm{\ est\ valeur\ propre\ de\ } A \Longleftrightarrow \ker A \neq \{0_{n,1}\} \] \[ \Longleftrightarrow A \mathrm{\ non\ inversible} \] \[ \Longleftrightarrow \mathrm{rg}(A) \neq n \]