On dit qu’une fonction \(f\) définie sur un intervalle \(I\) admet une primitive, s’il existe une fonction \(F\) dérivable sur \(I\) telle que \[ F' = f \]
Toute fonction \(f\) continue sur un intervalle \(I\) admet une primitive \(F\) sur \(I\).
Et dans ce cas, comme \(F' = f\), alors la fonction \(F\) est de classe \(C^1\) sur \(I\).
Soit \(k\) un entier naturel.
Si \(f\) est \(C^k\) sur un intervalle \(I\), alors toute primitive \(F\) de \(f\) sur \(I\) est de classe \(C^{k+1}\) sur \(I\).
Soit \(f\) une fonction continue sur le segment \([a,b]\).
Soit \(F\) une primitive de \(f\) sur \([a,b]\).
Alors on a
\[ \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a) \]
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\).
Soit \(a\) un réel dans \(I\). Pour tout \(x\) de \(I\), on pose
\[ G(x) = \int_a^x f(t)\mathrm{d}t \]
D’après le théorème fondamental de l’analyse, comme \(f\) est continue sur \(I\), alors \(f\) admet une primitive que nous notons \(F\). Et on a
\[ G(x) = \Big[ F(t) \Big]_a^x = F(x) - F(a) \]
Comme on sait que \(f\) est continue sur \(I\), alors \(F\) est \(C^1\) sur \(I\).
Et on en déduit que \(G\) est \(C^1\) sur \(I\) par somme de fonctions \(C^1\). et on a
\[ G'(x) = F'(x) - 0 = f(x) \]
Dans ce cas, on remarque que, comme \(G'=f\), alors \(G\) est aussi une primitive de \(f\).
Il s’agit en fait de la primitive de \(f\) qui s’annule en \(x=a\).
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\).
Soit \(a\) un réel dans \(I\). Supposons que pour tout \(x\) de \(I\), on ait \(2x \in I\). Et pour tout \(x\) de \(I\), on pose
\[ G(x) = \int_a^{2x} f(t)\mathrm{d}t \]
D’après le théorème fondamental de l’analyse, comme \(f\) est continue sur \(I\), alors \(f\) admet une primitive que nous notons \(F\). Et on a
\[ G(x) = \Big[ F(t) \Big]_a^{2x} = F(2x) - F(a) \]
Comme on sait que \(f\) est continue sur \(I\), alors \(F\) est \(C^1\) sur \(I\).
Et on en déduit que \(G\) est \(C^1\) sur \(I\) par composée et somme de fonctions \(C^1\). Et on a
\[ G'(x) = 2F'(2x) - 0 = 2f(2x) \]
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\).
Soit \(a\) un réel dans \(I\). Supposons que pour tout \(x\) de \(I\), on ait \(x^2 \in I\). Et pour tout \(x\) de \(I\), on pose
\[ G(x) = \int_a^{x^2} f(t)\mathrm{d}t \]
D’après le théorème fondamental de l’analyse, comme \(f\) est continue sur \(I\), alors \(f\) admet une primitive que nous notons \(F\). Et on a
\[ G(x) = \Big[ F(t) \Big]_a^{x^2} = F(x^2) - F(a) \]
Comme on sait que \(f\) est continue sur \(I\), alors \(F\) est \(C^1\) sur \(I\).
Et on en déduit que \(G\) est \(C^1\) sur \(I\) par composée et somme de fonctions \(C^1\). Et on a
\[ G'(x) = 2xF'(x^2) - 0 = 2xf(x^2) \]
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\).
Supposons que pour tout \(x\) de \(I\), on ait \(x^2 \in I\) et \(x^3 \in I\). Et pour tout \(x\) de \(I\), on pose
\[ G(x) = \int_{x^2}^{x^3} f(t)\mathrm{d}t \]
D’après le théorème fondamental de l’analyse, comme \(f\) est continue sur \(I\), alors \(f\) admet une primitive que nous notons \(F\). Et on a
\[ G(x) = \Big[ F(t) \Big]_{x^2}^{x^3} = F(x^3) - F(x^2) \]
Comme on sait que \(f\) est continue sur \(I\), alors \(F\) est \(C^1\) sur \(I\).
Et on en déduit que \(G\) est \(C^1\) sur \(I\) par composée et somme de fonctions \(C^1\). Et on a
\[ G'(x) = 3x^2F'(x^3) - 2xF'(x^2) = 3x^2f(x^3) - 2xf(x^2) \]
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\).
Soit \(a\) un réel dans \(I\). Supposons que pour tout \(x\) de \(I\), on ait \(x^2 \in I\). Et pour tout \(x\) de \(I\), on pose
\[ G(x) = x\int_a^{x^2} f(t)\mathrm{d}t \]
Avant d’étudier \(G\), posons, pour tout \(x\) de \(I\)
\[ H(x) = \int_a^{x^2} f(t)\mathrm{d}t \]
On a ainsi
\[ G(x) = xH(x) \]
D’après le théorème fondamental de l’analyse, comme \(f\) est continue sur \(I\), alors \(f\) admet une primitive que nous notons \(F\). Et on a
\[ H(x) = \Big[ F(t) \Big]_a^{x^2} = F(x^2) - F(a) \]
Comme on sait que \(f\) est continue sur \(I\), alors \(F\) est \(C^1\) sur \(I\).
Et on en déduit que \(H\) est \(C^1\) sur \(I\) par composée et somme de fonctions \(C^1\). Et on a
\[ H'(x) = 2xF'(x^2) - 0 = 2xf(x^2) \]
On en déduit alors que \(G\) est \(C^1\) sur \(I\) par produit de fonctions \(C^1\). Et on a
\[ G'(x) = H(x) + x \times 2xf(x^2) = H(x) + 2x^2f(x^2) \]