SCE

On dit qu’une famille d’événements est un SCE

• si les événements de la famille sont 2 à 2 incompatibles
• et si la réunion de ces événements est égale à l’univers

FPT

Soit \((A_i)_{i \in I}\) un SCE.

Soit \(B\) un événement.

Alors d’après la FPT avec le SCE \((A_i)_{i \in I}\), on a

\[P(B) = \sum_{i \in I} P(A_i \cap B)\]

FPT : exemple 1

Soit \((A_1, A_2, A_3)\) un SCE.

Soit \(B\) un événement.

Alors d’après la FPT avec le SCE \((A_1, A_2, A_3)\), on a

\[\begin{array}{ll}P(B) &= \displaystyle \sum_{i=1}^3 P(A_i \cap B)\\ &= P(A_1 \cap B) + P(A_2 \cap B) + P(A_3 \cap B) \end{array}\]

Remarque : le SCE est fini, donc la somme est finie.

FPT : exemple 2

Soit \(n\) un entier naturel non nul.

Soit \((A_1, ..., A_n)\) un SCE.

Soit \(B\) un événement.

Alors d’après la FPT avec le SCE \((A_1, ..., A_n)\), on a

\[\begin{array}{ll}P(B) &= \displaystyle \sum_{i=1}^{n} P(A_i \cap B)\\ &= P(A_1 \cap B) + \dots P(A_n \cap B) \end{array}\]

Remarque : le SCE est fini, donc la somme est finie.

FPT : exemple 3

Soit \((A_i)_{i \in \mathbb N}\) un SCE.

Soit \(B\) un événement.

Alors d’après la FPT avec le SCE \((A_i)_{i \in \mathbb N}\), on a

\[\begin{array}{ll}P(B) &= \displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty} P(A_i \cap B)\\ &= P(A_0 \cap B) + P(A_1 \cap B) + \dots \end{array}\]

Remarque : le SCE est infini, donc la somme est infinie.

SCE associé à une variable aléatoire discrète

Soit \(X\) une variable aléatoire discrète.

Alors la famille d’événements \((X=k)_{k \in X(\Omega)}\) est un SCE.

Exemple 1 : si \(X(\Omega) = \{2, 3, 9\}\), alors \((X=2, X=3, X=9)\) est un SCE.

Exemple 2 : si \(X(\Omega) = \mathbb N\), alors \((X=k)_{k \in \mathbb N}\) est un SCE.

FPT avec un SCE associé à une variable aléatoire discrète

Soit \(X\) une variable aléatoire discrète.

Soit \(B\) un événement.

Alors d’après la FPT avec le SCE associé à \(X\), on a

\[P(B) = \sum_{i \in X(\Omega)} P([X=i] \cap B)\]

FPT : exemple 4

Soit \(X\) une variable aléatoire dont le support est \(\{2, 3, 9\}\).

Soit \(B\) un événement.

Alors d’après la FPT avec le SCE associé à \(X\), on a

\[\begin{array}{ll}P(B) &= \displaystyle \sum_{j \in X(\Omega)} P([X=j] \cap B)\\ &= P([X=2] \cap B) + P([X=3] \cap B) + P([X=9] \cap B) \end{array}\]

FPT : exemple 5

Soit \(n\) un entier naturel non nul.

Soit \(X\) une variable aléatoire dont le support est \([\![1,n]\!]\).

Soit \(B\) un événement.

Alors d’après la FPT avec le SCE associé à \(X\), on a

\[\begin{array}{ll}P(B) &= \displaystyle \sum_{j \in X(\Omega)} P([X=j] \cap B)\\ &= \displaystyle \sum_{j=1}^n P([X=j] \cap B)\\ &= P([X=1] \cap B) + \dots + P([X=n] \cap B) \end{array}\]

FPT : exemple 6

Soit \(X\) une variable aléatoire dont le support est \(\mathbb N^*\).

Soit \(B\) un événement.

Alors d’après la FPT avec le SCE associé à \(X\), on a

\[\begin{array}{ll}P(B) &= \displaystyle \sum_{j \in X(\Omega)} P([X=j] \cap B)\\ &= \displaystyle \sum_{j=1}^{+\infty} P([X=j] \cap B)\\ &= P([X=1] \cap B) + P([X=2] \cap B) + \dots \end{array}\]

FPT : exemple 7

Soit \(n\) un entier naturel non nul.

Soit \(X\) une variable aléatoire dont le support est \([\![1,n]\!]\).

Soit \(Z\) une variable aléatoire et soit \(z\) un réel. Ainsi \([Z=z]\) est un événement.

Alors d’après la FPT avec le SCE associé à \(X\), on a

\[\begin{array}{ll}P(Z=z) &= \displaystyle \sum_{j \in X(\Omega)} P([X=j] \cap [Z=z])\\ &= \displaystyle \sum_{j=1}^n P([X=j] \cap [Z=z])\\ &= P([X=1] \cap [Z=z]) + \dots + P([X=n] \cap [Z=z]) \end{array}\]