\[\lim\limits_{n \to +\infty} q^n \quad \mathrm{et} \quad \lim\limits_{n \to +\infty} (\lambda_n)^n\]
Il faut faire attention au fait que \(q\) est une constante (indépendante de \(n\)) alors que \(\lambda_n\) dépend de \(n\).
Exemple :
\[\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\frac32\right)^n \quad \mathrm{et} \quad \lim\limits_{n \to +\infty} \left(1+\frac1n \right)^n\]
Si \(0<q<1\), alors \[\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = 0\]
Si \(q>1\), alors \[\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = +\infty\]
Pour tout entier \(n\), on a \[1^n=1\]
Si \(\lim\limits_{n \to +\infty} \lambda_n = q\) avec \(0<q<1\), alors par composition de limites, on a \[\lim\limits_{n \to +\infty} (\lambda_n)^n = 0\]
Si \(\lim\limits_{n \to +\infty} \lambda_n = q\) avec \(q>1\), alors par composition de limites, on a \[\lim\limits_{n \to +\infty} (\lambda_n)^n = +\infty\]
Si \(\lim\limits_{n \to +\infty} \lambda_n = 1\) , alors par composition de limites, \(\lim\limits_{n \to +\infty} (\lambda_n)^n\) donne une forme indéterminée.
Dans le cas où \[\lim\limits_{n \to +\infty} \lambda_n = 1\] pour compendre d’où vient cette FI, passons par l’écriture exponentielle de \((\lambda_n)^n\) :
\[(\lambda_n)^n = e^{n\ln \lambda_n}\]
Comme \(\lambda_n\) tend vers 1, alors \(\ln \lambda_n\) tend vers 0.
Par conséquent, dans l’exponentielle, on a bien une limite de la forme \(\infty \times 0\) qui est une FI.
Afin de se débarasser de cette FI, il faut :
\[\lim\limits_{n \to +\infty} \left(1 + \frac1n \right)^n = ?\]
Comme \(\lim\limits_{n \to +\infty} (1 + \frac1n) = 1\), alors écrit
\[\left(1 + \frac1n \right)^n = e^{n\ln\left(1+\frac1n \right)}\]
Et comme \(\lim\limits_{n \to +\infty} \frac1n = 0\), alors
\[\ln\left(1+\frac1n \right) \sim \frac1n\] D’où \[n\ln\left(1+\frac1n \right) \sim n\times\frac1n=1\] D’où \[\lim\limits_{n \to +\infty} n\ln\left(1+\frac1n \right) = 1\] D’où finalement \[\lim\limits_{n \to +\infty} \left(1 + \frac1n \right)^n = e^1=e\]