Programme de la semaine 50
Diagonalisation des matrices carrées
Pour \(A\in\mathcal M_{n}(\mathbb R)\)
- définition de valeurs propres, espaces propres, vecteurs propres et spectre
- théorème : le spectre est inclus dans l’ensemble des racines d’un polynôme annulateur
- savoir tester si un réel est valeur propre
- savoir déterminer un espace propre associé à une valeur propre donnée, et en déterminer une base et sa dimension (celle de l’espace propre bien sûr)
- savoir trouver rapidement les valeurs propres d’une matrice carrée d’ordre 2
- savoir trouver encore plus rapidement les valeurs propres d’une matrice triangulaire
- cas particulier : 0 valeur propre
- 0 est valeur propre de \(A\) \(\Longleftrightarrow\) \(A\) est non inversible
- théorème : la concaténation de familles libres, et en particulier de bases, d’espaces propres associées à des valeurs propres distinctes est encore une famille libre et \[\sum_{\lambda\in \mathrm{Sp}(A)}\mathrm{dim\ ker}(A-\lambda I_n) \leq n = \mathrm{dim}\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)\]
- \(A\) est diagonalisable s’il existe une base de \(\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)\) constituée de vecteurs propres de \(A\). Cela revient à \(A\) semblable à une matrice diagonale, c’est-à-dire à l’existence d’une matrice inversible \(P\) et une matrice diagonale \(D\) telle que \[A = PDP^{-1}\] et dans ce cas, \(P\) est la matrice de passage de la base canonique de \(\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)\) vers la base de vecteurs propres et les coefficients diagonaux de \(D\) sont dans l’ordre les valeurs propres associées aux vecteurs propres de la base.
- théorème : \[A \mathrm{\ est\ diagonalisable\ } \Longleftrightarrow \sum_{\lambda\in \mathrm{Sp}(A)}\mathrm{dim\ ker}(A-\lambda I_n) = n = \mathrm{dim}\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)\]
- Toute matrice symétrique est diagonalisable.